BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1.      BARISAN GEOMETRI

1.1  BARISAN GEOMETRI

Amati ketiga barisan berikut ini.

a.       5, 15, 45, 135

b.      160, 80, 40, 20

c.       2, 8, 24, 120

Pada barisan (a) tampak bahwa  =  =  =3

            Jadi, pada barisan (a) perbandingan dua suku yang berurutan itu sama, yaitu 3, begitu pula barisan (b) yang memiliki perbandingan ½, untuk pembuktiannya sama seperti pada barisan (a) yaitu : 80/160=40/80=20/40=1/2.

Barisan (a) dan (b) di namakan barisan geometri karena memiliki perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan, istilah pada barisan geometri disebut pembanding atau  rasio dilambangkan P/r.

Pada barisan (c) bukan termasuk barisan geometri, karena apa? Karena perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan (c) tidak sama, mau di buktikan?, ini pembuktiannya : 8/2=24/8=120/24

4    =3     = 5

Setelah kita buktikan ternyata benar (c)bukan barisan geometri karena tidak memiliki perbandingan yang sama.

Seacara umum, barisan geometri dididefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan U1, U2, U3, …,Un, Un+1, dinamakan barisan geometri apabila untuk setiap n bilangan asli berlaku

Un+1/Un=Un/Un-1=Un-1/Un-2=...=U2/U1=P/r

Ketika kita mengerjakan contoh barisan (a), (b), & (c) tadi, kita menggunakan rumus yang ini.

            Jika suku pertamabarisan geometri adalah a dengan pembandingnya p/r, maka barisan geometri dinyatakan dengan U1, U2, U3,…Un atau

                                                             a, ar, ar², …,ar^n-1

Sehingga rumus suku  ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut:U_n=r U_n-1

Jika memulai barisan geometri dengan suku pertama (a) & rasio (c) maka mendapatkan barisan seperti berikut :

Mulai dengan suku pertama  a            kalikan dengan r           tuliskan hasilnya

           

            a        ar       ar²     ar³ …ar^n-1

            U₁    U₂    U₃      U₄      U_n

Untuk mencari U_n juga bisa dengan ar^n-1

            U_n=ar^n-1

Exsample:1. Selidiki apakah barisan-barisan berikut ini merupakan barisan geometri ataukah bukan ?

a.       1, 4, 16, 64, 256

b.      1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Jawab:Caranya seperti yang tadi yaitu U₂/U₁

               4/1=16/4=64/16=256/64

                 4  =   4  =  4     =   4

Ternyata barusan ini memiliki pembanding/rasio yang sama, sehinnga barisan termasuk nbarisan geometri

Pembuktian barisan (b)

               3/1=5/3=7/5=9/7=11/9=13/11=15/13=17/15

                 3  =5/3=7/5=9/7=11/9=13/11=15/13=17/15

Setelah mengurutkan ternyata rasionya tidak sama sehingga barisan ini bukanbarisan geometri.

2. Tentukan pembanding (rasio) dan suku ke-8 dari barisan 2, 6, 18, 54,

     …,39,366

    Jawab : Rumusnya : U_n=ar^n-1  atau U_n= rU_n-1

                 Dikt: a=2

                          r= 6/2=18/6=3

                 U_n=ar^n-1

                 U₈=2x3^8-1       

                 U₈=2x3⁷

                      =2x2187

                     = 4374

Jadi r = 3&suku ke-8=4374

1.2  SUKU TENGAH PADA BARISAN GEOMETRI

         Suku tengah dari suatu barisan geometri yang memiliki banyak suku ganjil, dapat ditentukan  melalui  deskripsi berikut ini.

a)      U₁, U₂, U₃ ; banyak suku = 3 dan suku tengahnya adalah U₂

Suku tengah U₂=ar = a²r² =  a.ar² =  u₁.u₃

Jadi, suku tengahnya adalah U₂=  u₁.u₃

b)      U₁, U₂, U₃,U₄, U₅ ;banyak suku =5 dan suku tengahnya adalah U₃

Suku tengah U₃=ar²=  a².r⁴ =  a.ar⁴ =  u₁.u₇

Jadi, suku tengahnya adalah U₃=  u₁.u₅

c)      U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, U₆, U₇; banyak suku =7 dan suku tengahnya adalah U₄

Suku tengah U₄= ar³=

Jadi, suku tengahnya adalah U₄=

d)     U₁,…,U_k,…,U_2k-1 ; banyak suku = (2k-1) dan suku tengahnya adalah Uk.

Suku tengah U_k=ar^k-1=

Jadi, suku tengahnya adalah U_k=

Rumus :Suku tengah pada barisan geometri

              Suatu barisan geometri dengan banyak suku adalh ganjil (ak-1) , dengan k  bilangan asli lebih dari dua. Suku tenagh barisan geometri itu adalah suku ke-k atau uk dan rumus suku  tengah uk ditentukan oleh hubungan:

                          U_k=  

Example : Ditentukan barisan geometri 1/8, ¼, ½,…,128. Banyak suku  pada barisan geometri ini adalah ganjil.

a)      Carilah suku tengahnya

b)      Suku keberapakah suku tengahnya itu?

c)      Berapakah banyaknya suku barisan itu?

Jawab :

a)      Barisan geometri 1/8, ¼, ½,…,128. Suku pertama a= U1=1/8, rasio r= 2, dan suku terakhir U2k-1=128

Denagn menggunakan rumus suku  tengah U_k= di peroleh : U_k=

               U_k=

               U_k=4

Jadi suku tengahnya sama dengan 4

b)      Berdasarkan hasil a), diperoleh   :

                 U_k=ar^k-1=4

                    1/8(2)^k-1=4

                         2^k-1=32

                         2^k-1= 25

                           k-1=5

                             k=6

Jadi suku tengahnya adalah suku yang ke-6

c)      Bnayaknya suku barisan itu sama denagn (2k-1)=2(6-1)=11

1.3     SISIPAN PADA BARISAN GEOMETRI

Di antara dua bilanagn real x dan y (x dapat disisipkan sebanyak k buah bilangan  dengan k bilangan asli, sehingga bilangan-bilangan  semula denagn bialngan –bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Misalkan rasio barisan geometri yang terbentuk itu adalahr, maka bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu dapat disusun sebagai berikut.

                                      Bilangan-bilangan semula   

        

                                 x,       xr,     xr²,      xr³,…,   xr^k,   y  membentuk barisan geometri

                            bilangan-bilangan yang disisipkan, sebanyak k buah

     Karena barisan di atas adalah barisan geometri, maka perbandingan dua suku yang berurutan sama dengan rasio   r. Dengan menentukan perbandingan dua suku terakhir pada barisan geometri itu, diperoleh hubungan :

y/xr^k=r

y/x=r.r^k

r^k+1=y/x

r     =^k+1 y/x

         Berdasarkan deskripsi di atas, sisipan pada barisan geometri dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.

Rumus :Sisipan pada Barisan Geometri

               Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

                                               r=^k+1 y/x

x dan y bilangan real (x  dan k bilangan asli

Catatan:

1.      Untuk k genap, nilai r yang di peroleh hanya ada 1 kemungkinan, yaitu:

     r=^k+1  y/x

2.      Untuk k ganjil, nilai r yang di peroleh ada 2 kemungkinan, yaitu:

     r= ^k+1  y/x  atau  r= -^k+1  y/x

Example:Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada soal-soal berikut ini

a)      Di antara bilangan-bilangan ¼ dan 8 disisipkan sebanyak 4 buah bilanagn.

b)      Di antara bilangan-bilangan 2 dan 162 disisipkan sebanyak 3 buah bilangan

Jawab:

a)   X=1/4, y=8, dan k=4 (genap) maka nilai r hanya ada 1 kemungkinan:

            r=^k+1 y/x

            r=⁵ 8/1/4

            r=⁵       =2

Jadi, niali arsio dari barisan geometri yang terbentuk adalah r=2 dan barisan geometri itu adalah ¼, ½, 1, 2, 4, 8

b)   X= 2, y= 162, dan k=3 (ganjil) maka nilai r ada 2 kemungkinan :

            r= + ^k+1 y/x atau  r= - ^k+1 y/x

            r=+ ⁴ 162/2   atau   r= - ⁴ y/x

            r= +3 atau r=-3

Jadi niali rasio dari abrisan geometri yang terbentuk adalah r=3 atau r=-3.

Untuk r=3, barisan geometri yang terbentuk adalah 2, 6, 18, 54, 162, sedangkan

Untuk r=-3, barisan geometri yang terbentuk adalah 2, -6, 18, -54, 162.