sejarah geometri

BAB I

PENDAHULUAN

 

Trigonometri, tentu saja, sebuah cabang dari geometri, tetapi berbeda dari geometri sintetis Euclid dan Yunani kuno dengan menjadi komputasi di alam. Sebagai contoh, sisi-sudut kongruensi sudut dalil yang menyatakan bahwa segitiga ditentukan oleh dua sudut dan sisi diantara mereka. Artinya, jika ingin tahu sudut yang tersisa dan sisanya dua sisi, yang harus dilakukan adalah lay out yang diberikan sisi dan dua sudut di ujung-ujungnya, memperpanjang sisi lain dua sampai mereka bertemu, dan anda punya segitiga. Tidak ada perhitungan numerik yang terlibat.

Tapi versi trigonometri berbeda. Jika memiliki pengukuran dari dua sudut dan panjang sisi di antara mereka, maka masalah ini adalah untuk menghitung sudut yang tersisa (yang mudah, hanya kurangi jumlah dari dua sudut dari dua sudut kanan) dan sisanya dua belah pihak (yang sulit). Solusi modern dengan perhitungan yang terakhir adalah dengan cara hukum cosinus.

Semua perhitungan trigonometri memerlukan pengukuran sudut dan perhitungan beberapa fungsi trigonometri. Fungsi-fungsi trigonometri modern adalah sinus, kosinus dan tangen, tetapi dalam trigonometri Yunani kuno yang digunakan adalah akord, sebuah fungsi yang lebih intuitif.

BAB II

SEJARAH TRIGONOMETRI

1.      Arti Trigonometri

Istilah trigonometri berasal dari  bahasa Yunani  "τριγωνομετρία"  ("trigonometria"), yang berarti "segitiga mengukur", dari "τρίγωνο" (segitiga) + "μετρεῖν" (untuk mengukur). Trigonometri adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Dan banyak lagi Matematikawan dunia yang berperan dalam perkembangan trigonometri.

2.      Orang Babel dan Pengukuran Sudut

Babel sebelum 300 SM menggunakan pengukuran derajat untuk sudut Babilonia yang angka didasarkan pada nomor 60 sehingga mungkin menduga bahwa mereka mengambil ukuran unit untuk menjadi apa yang kita sebut 60°, kemudian dibagi yang ke 60 derajat. Mungkin 60° diambil sebagai unit karena chord 60° sama dengan jari-jari lingkaran. Gelar pengukuran kemudian diadopsi oleh Hipparchus.

Babel adalah yang pertama untuk memberikan koordinat untuk bintang. Mereka menggunakan lingkaran ekliptika sebagai basis mereka di lingkup langit, yaitu bintang-bintang bola kristal. Matahari perjalanan ecliptic, planet perjalanan dekat ekliptika, rasi bintang dari zodiak diatur sekitar ekliptika, dan bintang utara, Polaris, adalah 90° dari ekliptika. Lingkungan langit berputar di sekitar sumbu yang melalui kutub utara dan selatan. Babel mengukur bujur dalam derajat berlawanan dari titik vernal seperti terlihat dari kutub utara, dan mereka diukur dalam derajat garis lintang utara atau selatan dari ekliptika.

3.      Hipparchus Nicea

Hipparchus dari Nicea, awal dari trigonometri tampaknya mulai dengan dia. Tentu Babel, Mesir, dan Yunani sebelumnya tahu astronomi jauh sebelum Hipparchus, dan mereka juga menentukan posisi banyak bintang di bola langit di hadapannya. Beberapa dari 'kemajuan Hipparchus dalam astronomi meliputi perhitungan bulan lunar mean, estimasi ukuran dan jarak dari matahari dan bulan, varian pada model dan eksentrik epicyclic gerak planet, sebuah katalog 850 bintang (bujur dan lintang relatif terhadap ekliptika), dan penemuan presesi dari dan pengukuran presesi itu.

Hipparchus menulis sebuah buku kerja 12 pada akord dalam lingkaran, karena hilang. Itu akan menjadi pekerjaan pertama yang diketahui trigonometri. Karena pekerjaan yang tidak ada lagi, hampir semua tentang itu adalah spekulasi. Tetapi beberapa hal yang dikenal dari berbagai menyebutkan itu dalam sumber-sumber lain termasuk yang lain sendiri. Ini termasuk beberapa panjang akord yang sesuai untuk berbagai busur lingkaran, mungkin tabel akord. Selain memo ini beberapa informasi, orang lain bisa disimpulkan dari pengetahuan yang diambil juga dikenal oleh para penerusnya.

Tabel trigonometri pertama tampaknya disusun oleh  Hipparchus dari  Nicea sekarang (akibatnya dikenal sebagai "bapak trigonometri."). Hipparchus adalah yang pertama untuk tabulasi nilai-nilai yang sesuai busur dan akord untuk seri sudut

4.      Chords Sebagai Dasar Trigonometri

Mengingat lingkaran dan busur pada lingkaran, akord adalah garis yang subtends busur. Sebuah garis-berat chord's melewati pusat lingkaran dan membagi dua sudut. Satu setengah dari akord membelah adalah sinus dari sudut membelah, yaitu                        , Dan akibatnya fungsi sinus juga dikenal sebagai "chord setengah".

Dalam presentasi modern trigonometri, sinus dan kosinus sudut a adalah y- dan x-koordinat titik pada lingkaran satuan, menjadi titik persimpangan lingkaran satuan dan satu sisi dari suatu sudut, yang lain sisi sudut adalah sumbu x positif. Yunani, India, Arab, dan Eropa awal menggunakan lingkaran dari beberapa radius nyaman lainnya. Untuk deskripsi trigonometri, disini akan meninggalkan jari-jari tidak ditentukan sebagai r dan itu ganda, diameter, disini akan menunjukkan d. 

Akord dari sudut AOB dimana O adalah pusat lingkaran dan A dan B dua titik pada lingkaran, hanya garis lurus AB. Chords berkaitan dengan sinus modern dan kosinus oleh rumus

RAL a = d sin (a / 2) dosa) = (1 / d CRD 2 a

RAL (180 ° - a) = d cos (a / 2) cos a = (1 / d) RAL (180 ° - 2 a)

di mana a adalah sudut, d diameter, dan RAL singkatan bagi akord.

5.      Menelaus

Menelaus dari Alexandria menulis dalam tiga buku  sphaerica nya. Dalam Buku I, ia mendirikan dasar untuk segitiga bola analog dengan dasar Euclidean untuk segitiga pesawat.  Ia menetapkan suatu teorema yang tanpa analog Euclidean, bahwa dua segitiga bola adalah kongruen jika sudut yang sesuai adalah sama, tetapi ia tidak membedakan antara simetris bulat segitiga dan kongruen. Teorema lain adalah bahwa ia menetapkan bahwa jumlah sudut segitiga bola lebih besar dari 180 °.  Buku II dari sphaerica berlaku geometri bola ke astronomi. Dan Buku III berisi "teorema Menelaus".  Dia lebih lanjut memberikan yang terkenal "aturan enam kuantitas".

6.      Claudius Ptolemy

Kemudian, Claudius Ptolemy diperluas  'Chords  Hipparchus  dalam Lingkaran dalam bukunya  Almagest, atau sintaks Matematika.  Tiga belas buku Almagest adalah dan signifikan trigonometri kerja berpengaruh paling kuno semua.  Sebuah teorema yang merupakan pusat's perhitungan Ptolemy dari akord adalah apa yang masih dikenal hari ini sebagai Teorema Ptolemy, bahwa jumlah produk yang berlawanan sisi dari segiempat siklik adalah sama dengan produk dari diagonal. Sebuah kasus khusus dari Teorema Ptolemeus muncul sebagai proposisi 93 di Euclid's Data. 

Teorema Ptolemy mengarah pada setara empat-dan-perbedaan formula sum untuk sinus dan kosinus yang sekarang dikenal sebagai's formula Ptolemy, meskipun Ptolemy sendiri digunakan chords bukan sinus dan kosinus.  Ptolemy lebih lanjut diperoleh setara dengan setengah rumus sudut                                  .  Ptolemy digunakan hasil ini untuk membuat tabel trigonometri, tapi apakah tabel ini berasal dari 'pekerjaan Hipparchus tidak dapat ditentukan. Baik tabel Hipparchus maupun orang-orang Ptolemeus selamat sampai sekarang, meskipun deskripsi oleh penulis kuno lainnya meninggalkan sedikit keraguan bahwa mereka pernah ada.

7.      Aristarkhus

Meskipun tidak diketahui kapan yang sistematis, penggunaan lingkaran 360 ° masuk ke matematika, diketahui bahwa pengenalan sistematis ° lingkaran 360 datang sedikit setelah Aristarkhus dari Samos terdiri Pada Ukuran dan Jarak dari Matahari dan Bulan, karena ia mengukur sudut dalam hal sebagian kecil dari sebuah kuadran.  Tampaknya yang sistematis, penggunaan lingkaran 360 ° sebagian besar disebabkan oleh Hipparchus dan tabel tentang akord. Hipparchus mungkin telah mengambil ide divisi ini dari Hypsicles yang sebelumnya membagi hari menjadi 360 bagian, sebuah divisi dari hari yang mungkin telah disarankan oleh astronomi Babel. 

 Dalam astronomi kuno, zodiak telah dibagi menjadi dua belas " tanda-tanda "atau tiga puluh enam" decans ". Siklus musiman sekitar 360 hari bisa berhubungan dengan tanda-tanda dan decans dari zodiak dengan membagi masing-masing masuk ke bagian dan masing-masing tiga puluh decan menjadi sepuluh bagian.  Hal ini disebabkan oleh sistem sexagesimal nomor Babel bahwa gelar masing-masing dibagi menjadi enam puluh menit dan tiap menit dibagi menjadi enam puluh detik.            

8.      Trigonometri India

Perkembangan signifikan berikutnya trigonometri berada di India. Berpengaruh karya-karya dari abad ke-4-5, yang dikenal sebagai Siddhantas (yang ada lima, yang lengkap selamat yang kebanyakan adalah Siddhanta Surya) pertama kali didefinisikan sinus sebagai hubungan modern antara setengah sudut dan setengah chord, sementara juga mendefinisikan cosinus, versine, dan sinus invers. Setelah itu, seorang ahli matematika India dan astronom, Aryabhata, dikumpulkan dan diperluas perkembangan dari Siddhantas dalam sebuah pekerjaan penting yang disebut Aryabhatiya . The Siddhantas dan Aryabhatiya berisi tabel awal yang masih bertahan nilai sinus dan versine (1 - cosinus) nilai, dalam interval 3,75 ° dari 0 ° sampai 90 °, dengan akurasi 4 tempat desimal. Mereka menggunakan kata  Jya untuk sinus, kojya untuk cosinus, utkrama-Jya untuk versine, dan otkram Jya untuk sinus invers. Kata-kata Jya dan kojya akhirnya menjadi sinus dan kosinus. Matematikawan India lainnya kemudian diperluas pada karya-karya trigonometri. Pada abad ke-6, Varahamihira menggunakan formula 

 

 

Pada abad ke-7, Bhaskara Saya menghasilkan rumus untuk menghitung sinus dari sudut akut tanpa menggunakan tabel. Dia juga memberikan rumus pendekatan berikut untuk sudut (x), yang memiliki kesalahan relatif kurang dari 1,9%:

Madhava melakukan langkah awal dalam analisis fungsi trigonometri dan mereka tak terbatas seri ekspansi. Dia mengembangkan konsep-konsep deret pangkat dan deret Taylor dan menghasilkan serangkaian kekuatan ekspansi sinus, kosinus, tangen, dan arctangent. Menggunakan pendekatan deret Taylor dari sinus dan kosinus, ia menghasilkan tabel sinus untuk 12 desimal tempat akurasi dan meja kosinus sampai 9 desimal akurasi. Dia juga memberikan seri kekuatan π dan θ , jari-jari , diameter , dan keliling lingkaran dalam hal fungsi trigonometri. Karya-karyanya dikembangkan oleh para pengikutnya di Sekolah Kerala hingga abad ke-16.

9.      Trigonometri Cina

Di Cina, Aryabhata tabel's sinus telah diterjemahkan ke dalam matematika Cina buku Zhanjing Kaiyuan , dikompilasi di 718 AD pada Dinasti Tang. Meskipun Cina unggul dalam bidang-bidang matematika seperti geometri padat, teorema binomial , dan formula aljabar kompleks, bentuk awal trigonometri tidak secara luas dihargai seperti di Yunani, Helenistik, India dan Islam dunia sebelumnya. Sebaliknya, Cina awal digunakan sebagai pengganti empiris yang dikenal sebagai Chong cha, sementara praktis penggunaan trigonometri pesawat dalam menggunakan sinus, tangen, dan garis potong itu diketahui. Namun, keadaan embrio trigonometri di Cina perlahan mulai perubahan dan kemajuan selama Dinasti Song (960-1279), dimana matematikawan Cina mulai untuk mengekspresikan penekanan yang lebih besar untuk kebutuhan trigonometri bola dalam ilmu kalender dan perhitungan astronomi. 

Sal Restivo menulis yang bekerja Shen di panjang busur lingkaran memberikan dasar trigonometri sferis dikembangkan pada abad ke-13 oleh ahli matematika dan astronom Guo Shoujing (1231-1316). Guo Shoujing digunakan trigonometri bola dalam perhitungan untuk memperbaiki sistem kalender dan astronomi Cina.

Guo menggunakan bola piramida berbentuk segi empat, yang segiempat basal yang terdiri dari satu khatulistiwa dan satu busur elips, bersama dengan dua busur meridian, salah satunya melewati titik balik matahari musim panas titik. Dengan metode seperti itu ia mampu memperoleh lü du (derajat khatulistiwa sesuai dengan derajat ecliptic), yang ji cha (nilai akord untuk busur ecliptic diberikan), dan lü cha (perbedaan antara kord berbeda oleh 1 busur derajat).

10.  Perkembangan Trigonometri Selanjutnya di Eropa

Regiomontanus mungkin merupakan matematikawan pertama di Eropa untuk mengobati trigonometri sebagai disiplin matematika yang berbeda, di Detriangulis nya omnimodus ditulis dalam 1464, serta directionum kemudian Tabulae nya yang mencakup fungsi tangen, yang tidak disebutkan namanya.

The palatinum Opus de triangulis dari Georg Joachim Rheticus, seorang mahasiswa Copernicus, mungkin yang pertama di Eropa untuk menentukan fungsi trigonometri langsung dalam hal segitiga siku-siku, bukan lingkaran, dengan meja untuk enam fungsi trigonometri; pekerjaan ini selesai dengan Rheticus ' mahasiswa Valentin Otho pada tahun 1596.

Pada abad ke-17, Isaac Newton dan James Stirling mengembangkan formula Newton-Stirling interpolasi umum untuk fungsi trigonometri. Pada abad ke-18, Leonhard Euler 's Introductio di infinitorum analysin (1748) sebagian besar bertanggung jawab untuk membuat pengobatan analitis fungsi trigonometri di Eropa.

Juga pada abad ke-18, Brook Taylor mendefinisikan deret Taylor umum dan memberikan ekspansi seri dan perkiraan untuk keenam fungsi trigonometri. Karya-karya James Gregory diabad ke-17 dan Colin Maclaurin diabad ke-18 juga sangat berpengaruh dalam pengembangan seri trigonometri.

11.  Nilai-nilai Trigonometri

Sudut A (°)	Sudut A (π)	Sin A	Cos A	Tan A
0°	0	0	1	0
15°	π/12	½ (√6 - √2)	½(√6 + √2)	2 -√3
30°	π/6	½	½√3	⅓√3
45°	π/4	½√2	½√2	1
60°	π/3	½√3	½	√3
75°	5π/12	½ (√6 + √2)	½ (√6 - √2)	2 + √3
90°	π/2	1	0	~
105°	7π/12	½ (√6 + √2)	-½ (√6 - √2)	- (2 + √3)
120°	2π/3	½√3	-½	-√3
135°	3π/4	½√2	-½√2	-1
150°	5π/6	½	-½√3	-⅓√3
165°	11π/12	½ (√6 - √2)	-½ (√6 +√2)	- (2 -√3)
180°	π	0	-1	0
195°	13π/12	-½ (√6 - √2)	-½ (√6 +√2)	2 -√3
210°	7π/6	-½	-½√3	⅓√3
225°	5π/4	-½√2	-½√2	1
240°	4π/3	-½√3	-½	√3
255°	17π/12	-½(√6 + √2)	-½ (√6 - √2)	2 + √3
270°	3π/2	-1	0	~
285°	19π/12	-½ (√6 +√2)	½ (√6 - √2)	- (2 + √3)
300°	5π/3	-½√3	½	-√3
315°	7π/4	-½√2	½√2	-1
330°	11π/6	-½	½√3	-⅓√3
345°	23π/12	-½ (√6 - √2)	½ (√6 + √2)	- (2 -√3)
360°	2π	0	1	0

Sudut A (°)	Sudut A (π)	Cot A	Sec A	Cosec A
0°	0	~	1	~
15°	π/12	2 + √3	√6 - √2	√6 + √2
30°	π/6	√3	⅔√3	2
45°	π/4	1	√2	√2
60°	π/3	⅓√3	2	⅔√3
75°	5π/12	2 -√3	√6 + √2	√6 - √2
90°	π/2	0	~	1
105°	7π/12	- (2 -√3)	- (√6 + √2)	√6 - √2
120°	2π/3	-⅓√3	-2	⅔√3
135°	3π/4	-1	-√2	√2
150°	5π/6	-√3	-⅔√3	2
165°	11π/12	- (2 + √3)	- (√6 - √2)	√6 + √2
180°	π	~	-1	~
195°	13π/12	2 + √3	- (√6 - √2)	- (√6 + √2)
210°	7π/6	√3	-⅔√3	-2
225°	5π/4	1	-√2	-√2
240°	4π/3	⅓√3	-2	-⅔√3
255°	17π/12	2 -√3	- (√6 + √2)	- (√6 - √2)
270°	3π/2	0	~	-1
285°	19π/12	- (2 -√3)	√6 + √2	- (√6 - √2)
300°	5π/3	-⅓√3	2	-⅔√3
315°	7π/4	-1	√2	-√2
330°	11π/6	-√3	⅔√3	-2
345°	23π/12	- (2 + √3)	√6 - √2	- (√6 + √2)
360°	2π	~	1	~

BAB III

KESIMPULAN

Trigonometri, tentu saja, tergantung pada geometri. Hukum cosinus, misalnya, mengikuti dari proposisi geometri sintetis. Dan begitu, masalah dalam trigonometri telah diperlukan perkembangan baru dalam geometri sintetis. Contohnya adalah Teorema Ptolemy yang memberikan aturan untuk akord dari Uang dan perbedaan sudut, yang sesuai dengan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus untuk.

Aplikasi utama trigonometri dalam budaya masa lalu, bukan hanya kuno Yunani, adalah untuk astronomi. Perhitungan sudut dalam lingkup langit yang berbeda membutuhkan geometri dan trigonometri dari yang di pesawat. Geometri dari bola disebut "spherics" dan membentuk salah satu bagian dari quadrivium studi. Berbagai penulis, termasuk Euclid, menulis buku tentang spherics. Nama saat subjek adalah "geometri eliptik." Trigonometri rupanya muncul untuk memecahkan masalah yang diajukan dalam spherics daripada masalah yang diajukan dalam geometri pesawat. Dengan demikian, trigonometri bola adalah setua trigonometri pesawat.

Untuk beberapa dua setengah abad matematikawan Yunani telah mempelajari hubungan antara garis dan lingkaran dan menerapkan ini dalam berbagai masalah astronomi, tapi tidak ada trigonometri sistematis. Kemudian mungkin pada paruh kedua dari abad kedua SM, tabel trigonometri pertama tampaknya disusun oleh Hipparchus astronom Nicea yang dengan demikian mendapatkan hak untuk dikenal segabai Bapak Trigonometri.

DAFTAR PUSTAKA

Alders, C. J. 1984. Ilmu Ukur Segitiga. Jakarta : Pradnya Paramita

Amam, Hairul. 1995. Kamus Mafikib : Disusun sesuai dengan Kurikulum 1994. Surabaya : Bintang Terang 99.

Rich, Barnet. 2005. Geometri. Jakarta : Erlangga

Simangunsong, Wilson. 2005. Matematika Dasar. Jakarta : Erlangga.

Wahyudin. 2003. Ensiklopedi Matematika Untuk SLTP : Topik-topik Pengayaan Matematika. Jakarta : Tarity Samudra Berlian.

http://theducker.blogspot.com/2008/11/sejarah-trigonometri.html

http://wikipedia.co.id/sejarahtrigonometri.html

http://www.fisikanet.lipi.go.id/peletak-dasar-rumus-trigonometri.html