Subgrup Normal dan Grup Koesien

A.      SUBGRUP NORMAL

Definisi : Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal dari G, jika untuk setiap x Î G dan untuk setiap n Î N berlaku: x.n.x^-1Î N.

Definisi : Subgrup H dari sebuah grup G disebut subgrup normal dari G jika dan anya jika g^-1hgÎH untuk semua gÎG dan hÎH.

Proposisi : Sebarang subgroup dari grup abel adalah normal.

Bukti : jika H adalah subgroup dari grup abel, maka g^-1hg= g^-1gh=hÎH untuk semua gÎG dan hÎH. jadi, H adalah normal.

Contoh:

1)   Dalam setiap grup G, subgrup trivial {e} dan G sendiri merupakan subgrup normal.

2)   Grup matriks 2x2 bilangan riil dengan determinan = 1, dengan operasi perkalian matriks adalah subgrup normal dari grup matriks 2x2 bilangan riil dengan determinan tak nol, dengan operasi perkalian matriks.

3)   Ambil G=grup non-abelian matriks 2x2 non-singular bilangan riil dengan operasi perkalian matriks. Ambil D = himpunan matriks diagonal 2x2 non-singular bilangan riil dengan operasi perkalian matriks (D adalah subgrup dari G). Tunjukkan bahwa D bukan subgrup normal.

4)   G=grup matriks non-singular 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks. M=himpunan matriks skalar non-singular 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks (M adalah subgrup dari G). M adalah subgrup normal dari G.

5)   Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal.

B.       GRUP KOSIEN

Definisi:

1)   Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka himpunan G/N (semua koset

kanan/kiri N dalam G) adalah grup terhadap “perkalian” koset (periksalah). Grup ini disebut grup kuosien atau grup faktor G oleh N.

2)   G/N adalah himpunan semua koset kanan N dalam G.